Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂,離心率為且過點(4,- ).

(1)求雙曲線的標準方程;

(2)直線x=3與雙曲線交于M、N兩點,求證:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

(1)解析:由雙曲線的離心率為2,即=,?

則=2,∴a=b,

即雙曲線為等軸雙曲線.

可設其方程為x²-y²=λ(λ≠0).

由于雙曲線過點(4,- ),?

則4²-(-)²=λ.

∴λ=6.∴雙曲線方程為-=1.?

(2)證明:由(1)可得F₁、F₂的坐標分別為(-23,0)、(23,0),M、N的坐標分別為(3,3)、(3,-3),

∴k _F1M=,k _F2M=.?

故k _F1M·k _F2M=,

∴F₁M⊥F₂M.?

溫馨提示:(1)離心率給定的問題應先研究a、b的關系,簡化設方程的字母個數.?

(2)λ≠0時,方程x²-y²=λ既可表示焦點在x軸上也可表示焦點在y軸上的雙曲線.