Question

已知命題p：關(guān)于x的不等式x²-ax+1≥0對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)f(x)=

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x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函數(shù)．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出組成復(fù)合命題的簡單命題的為真時(shí)a的取值范圍，由復(fù)合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，分別求出當(dāng)p真q假時(shí)和當(dāng)q真p假時(shí)a的取值范圍，再求并集可得答案．

解答：解：∵關(guān)于x的不等式x²-ax+1≥0對任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4≤0⇒-2≤a≤2；
∴命題p為真命題時(shí)，-2≤a≤2；
由函數(shù)f(x)=

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x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，
得當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）=x²-2x-a＞0；
∵f′（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴f′（1）=-1-a＞0⇒a＜-1，
∴命題q為真命題時(shí)，a＜-1；
由復(fù)合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，

-2≤a≤2 a≥-1

⇒-1≤a≤2；
當(dāng)q真p假時(shí)，

a＞2或a＜-2 a＜-1

⇒a＜-2．
綜上a的取值范圍為[-1，2]∪（-∞，-2）．

點(diǎn)評：本題借助考查復(fù)合命題的真假判斷，考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判定及一元二次不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求得組成復(fù)合命題的簡單命題的為真時(shí)a的取值范圍．