Question

（2012•資陽(yáng)三模）設(shè)定義域?yàn)閇x₁，x₂]的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），

OM

=（x，y），滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，現(xiàn)定義“函數(shù)y=f（x）在[x₁，x₂]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指|

MN

|≤k恒成立，其中k＞0，k為常數(shù)．根據(jù)上面的表述，給出下列結(jié)論：
①A、B、N三點(diǎn)共線；
②直線MN的方向向量可以為

a

=（0，1）；
③“函數(shù)y=5x²在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性近似”；
④“函數(shù)y=5x²在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)

5

4

下線性近似”．
其中所有正確結(jié)論的番號(hào)為

①②④

．

Answer 1

分析：由條件推出

BN

=λ

BA

，故①成立；說明M，N的橫坐標(biāo)相同即可；對(duì)于函數(shù)y=5x²在[0，1]上，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），|

MN

|=

25[(λ- 1 2 )2+ 1 4 ]2

≤

5

4

，故④成立，③不成立，從而得到答案．

解答：解：由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得

ON

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，即

BN

=λ

BA

故①成立；
∵向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，
∴向量

ON

的橫坐標(biāo)為λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵

OM

=（x，y），滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y軸
∴直線MN的方向向量可以為

a

=（0，1），故②成立
對(duì)于函數(shù)y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
從而|

MN

|=

52(1-λ)2-(1-λ))2

=

25[(λ- 1 2 )2+ 1 4 ]2

≤

5

4

，
故函數(shù)y=5x²在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)

5

4

下線性近似”，故④成立，③不成立，
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．