在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，是動點，且的三邊所在直線的斜率滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點，問：是否存在點，使得和的面積滿足？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

【答案】

（1）（且）,（2）

【解析】

試題分析：（1）點的軌跡的方程,就是找出點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式，而條件中只有點為未知，可直接利用斜率公式化簡,得點的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結(jié)合變形過程及觀察圖像進行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點在于對條件的轉(zhuǎn)化，首先條件說明的是，其次條件揭示的是，兩者結(jié)合轉(zhuǎn)化為條件，到此原題就轉(zhuǎn)化為：已知斜率為的過點直線被拋物線截得弦長為，求點的坐標(biāo).

試題解析：

（1）設(shè)點為所求軌跡上的任意一點，則由得，

，整理得軌跡的方程為（且）． 3分

（2）:學(xué)設(shè)由可知直線，

則，故，即， 5分

直線OP方程為： ①； 直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即 ②

聯(lián)立①②，得，∴點M的橫坐標(biāo)為定值． 8分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為．

∴存在點P滿足，的坐標(biāo)為． 10分

考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關(guān)系

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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