Question

【題目】在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點(diǎn)，光線(xiàn)經(jīng)過(guò)的重心.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，請(qǐng)求的重心的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求的周長(zhǎng)及面積.

Answer 1

【答案】（1）坐標(biāo)系見(jiàn)解析，;（2）;（3）;

【解析】

（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸建立直角坐標(biāo)系,依次寫(xiě)出的坐標(biāo),由重心公式求得重心即可；

（2）由光的反射具有對(duì)稱(chēng)性,作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則四點(diǎn)共線(xiàn),設(shè),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得,,且在直線(xiàn)上,解出方程并將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得,進(jìn)而得到的坐標(biāo)；

（3）由（2）, 的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng),利用割補(bǔ)法將的面積轉(zhuǎn)化為的面積與的面積的差計(jì)算即可

（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,

所以根據(jù)重心公式可得重心為,即

（2）作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),由于光的反射原理,四點(diǎn)共線(xiàn),

因?yàn)?/span>過(guò)重心,所以過(guò)重心,

設(shè),則,

因?yàn)?/span>,,所以直線(xiàn)為：,

設(shè),則,所以 ,即

則直線(xiàn)為,

由（1）,代入點(diǎn),即,

所以或,

因?yàn)?/span>異于,

所以點(diǎn)為

（3）由（2）,,,

由于對(duì)稱(chēng)性,則的周長(zhǎng)為：,

直線(xiàn)為,即,

當(dāng)時(shí),,則

聯(lián)立,解得,則,

所以的面積為：