Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)_P到定點(diǎn)F（-1，0）的距離的兩倍和它到定直線x=-4的距離相等．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程，并說明軌跡C是什么圖形；
（Ⅱ）已知點(diǎn)Q（l，1），直線l：y=x+m（m∈R）和軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ的面積S最大？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)直接法求軌跡方程求解；
（II）假設(shè)存在，利用直線與圓錐曲線相交弦長公式，構(gòu)造三角形面積關(guān)于m的函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法求解即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，2|PF|=d．
即：2=|4+x|，
平方化簡得3x²+4y²=12，即．
點(diǎn)P的軌跡是長軸、短軸長分別為4、2，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（Ⅱ）設(shè)直線L與軌跡C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
聯(lián)立方程得：⇒7x²+8mx+4m²-12=0，
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
△=64m²-4×7×4（m²-3）=48（7-m²）＞0
|AB|==×．
點(diǎn)Q（1，1）到L：y=x+m的距離為．
∴S_△=×××=×≤×=．
當(dāng)且僅當(dāng)7-m²=m²，即m=±時(shí)，滿足△=48（7-m²）＞0，
∴存在實(shí)數(shù)m=，使△ABQ的面積S最大，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直接法求軌跡方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．存在性問題的常見解法：假設(shè)存在，依據(jù)題設(shè)條件求出，說明存在；求不出或得出明顯矛盾，說明不存在．