Question

（本小題滿分14分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程
（2若過點(diǎn)的兩條直線和與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

，

解法一：
聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，  ③
則.
而點(diǎn)在雙曲線上，.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為[    .

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)均不重合，故點(diǎn)均不在軌跡E上.
過點(diǎn)（0,1）及的直線的方程為.解方程組得.所以直線與雙曲線只有唯一交點(diǎn).
故軌跡E不經(jīng)過點(diǎn)（0,1）.同理軌跡E也不經(jīng)過點(diǎn)（0,-1）.
綜上分析，軌跡E的方程為.
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得
.
令，
解得.
由于，則.
過點(diǎn)分別引直線通過軸上的點(diǎn)，且使，因此,由，此時(shí)，
的方程分別為，
它們與軌跡分別僅有一個(gè)交點(diǎn)
所以符合條件的的值為