已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點，過點作直線交橢圓于、兩點，且恰為弦的中點。求證：無論點怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).
（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數(shù)．

試題分析：（1）由題知，且，解這個方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關(guān)系的問題，多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達定理解決.此題中有兩個橢圓，將哪個橢圓的方程與直線方程聯(lián)立？此題意即直線與的交點的中點在上，故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達定理得中點坐標，再將中點坐標代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達式，再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.
試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為；    4分
（2）當直線的斜率不存在時，必有，此時，        5分
當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為、點，則
與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，
則  即            8分
又             9分



綜上，無論怎樣變化，的面積為常數(shù)．            12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，如此下去，一般地，過點作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，設(shè)點（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項公式，并指出點列，，，向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)雙曲線的兩個焦點為，，一個頂點式，則的方程為          .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

(2014·黃岡模擬)如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B為焦點,且過點D的雙曲線的離心率為e1;以C,D為焦點,且過點A的橢圓的離心率為e2,則e1+e2的取值范圍為(　　)
A．[2,+∞)B．(,+∞)
C．D．(+1,+∞)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2為雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F2作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為M，且滿足||＝3||，則此雙曲線的漸近線方程為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y=﹣x2上的點到直線4x+3y﹣8=0距離的最小值是（　�。�
A．B．C．D．3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，有一個頂點為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線與橢圓交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個定值．

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