Question

（本小題滿分12分）
乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，
甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在上記3分，在上記1分，其它情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在上的來(lái)球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在上的概率為，在上的概率為；對(duì)落點(diǎn)在上的來(lái)球，小明回球的落點(diǎn)在上的概率為，在上的概率為.假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：
（Ⅰ）小明的兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（I）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.
（II）機(jī)變量的分布列為：
 
數(shù)學(xué)期望

試題分析：（I）記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”，
由題意，，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，即可得到小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率.
（II）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得
可得隨機(jī)變量的分布列為：
 
利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式得到
試題解析：（I）記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”，
由題意，，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，



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所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.
（II）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得
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,
,
,
,
可得隨機(jī)變量的分布列為：
 
所以數(shù)學(xué)期望