Question

已知雙曲線(xiàn)S的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)S的一個(gè)頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k.

（1）求雙曲線(xiàn)S的方程；

（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線(xiàn)S的上支上求點(diǎn)B，使其與直線(xiàn)l的距離為；

（3）當(dāng)0≤k＜1時(shí)，若雙曲線(xiàn)S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線(xiàn)l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)，如圖.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由已知可得雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為y＝±x，A′（0，）． 雙曲線(xiàn)S的方程為＝1 （2）設(shè)B（x，）是雙曲線(xiàn)S到直線(xiàn)l：y＝x－的距離為的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式有． 解得x＝，y＝2，即B（，2） （3）當(dāng)0≤k＜1時(shí)，雙曲線(xiàn)S的上支在直線(xiàn)l的上方，所以B在直線(xiàn)l的上方，設(shè)直線(xiàn)l′與直線(xiàn)l：y＝k（x－）平行，兩線(xiàn)間的距離為，且直線(xiàn)l′在直線(xiàn)l的上方，雙曲線(xiàn)S的上支上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B到直線(xiàn)l的距離為，等價(jià)于直線(xiàn)l′與雙曲線(xiàn)S的上支有且只有一個(gè)公共點(diǎn). 設(shè)l′的方程為y=kx+m 由l上的點(diǎn)A到l′的距離為， 可知． 解得m＝（k）． 因?yàn)橹本�(xiàn)l′在直線(xiàn)l的上方，所以M＝（k）． 由方程組 消去y，得（k2－1）x2＋2mkx＋m2－2＝0， 因?yàn)?i>k2≠1，所以 Δ＝4m2k2－4（k2－1）（m2－2）＝4（－2＋2k2）＝8k（3k－2）． 令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝． 當(dāng)k=0時(shí)，m=，解得x=0，y=． 此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）； 當(dāng)k＝時(shí)，M＝，解得x＝2，y＝．此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，）.