Question

（14分）已知定義在上的函數(shù)滿足：
，且對于任意實數(shù)，總有成立．
（1）求的值，并證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）若對于任意非零實數(shù)，總有．設(shè)有理數(shù)滿足，判斷和 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1），函數(shù)為偶函數(shù)
（2）略
（3）略

（1）令，，又，．…2分
令，，即．
對任意的實數(shù)總成立， 為偶函數(shù)． 4分
（2）令，得 ，，．
．…………………………………………………………5分
令，得，………………………………………………………………6分
         ………………………………………………8分
是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
（3）結(jié)論：．………………………………………………………………9分
證明：設(shè)，∵時，，
∴，即．……………………………………………………10分
∴令（），故，總有成立．
∴．………………………………………………………………………………………………11分
∴對于，總有成立．
即
當(dāng)時，
在上單調(diào)遞增�！�……………………………………………………………12分
當(dāng)…………………………………………………………13分
函數(shù)為偶函數(shù)，∴．∴．……14分