已知函數(shù)f（x）是定義在N*的函數(shù)，且滿足f（f（k））=3k，f（1）=2，設(shè)an=f(3n-1)，b1=1，bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）．
（I）求bn的表達(dá)式；
（II）求證：
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
＜
3
4
．
分析：（I）依題意．可求得f（an）=3n，從而可得log3f（an）=n，繼而由bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）可得bn的表達(dá)式；
（II）令Sn=
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
，由（I）可知，Sn=
1
3
+
2
32
+…+
n
3n
，利用錯(cuò)位相減法即可求得Sn，從而可證結(jié)論．
解答：解：（I）∵an=f（3n-1），
∴f（an）=f（f（3n-1））=3•3n-1=3n．
∴l(xiāng)og3f（an）=n，
同理，log3f（a1）=1，…（3分）
由bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）及b1=1得bn=n …（6分）
（II）證明：設(shè)Sn=
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
，
即Sn=
1
3
+
2
32
+…+
n
3n
…①
則
1
3
Sn=
1
32
+
2
33
+…+
n-1
3n
+
n
3n+1
…②…（9分）
①-②得 
2
3
Sn=
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
-
n
3n+1

=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-
n
3n+1

=
1
2
-（n+
3
2
）•
1
3n+1
＜
1
2
，
∴Sn＜
3
4
…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計(jì)算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，則AB的值是（　�。�

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