Question

以等腰直角△ABC的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，并且經(jīng)過另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

  或

  2

  -1
• D、

  2

  2

  或

  3

  -1

Answer 1

分析：分別以直角邊和斜邊為x軸，以直角邊或斜邊的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，再由題設(shè)條件求出橢圓方程，從而得到橢圓的離心率．

解答：解：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，
若設(shè)BC=2，以BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，
可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，0），C（-1，0），且過點(diǎn)（1，2），
設(shè)橢圓方程是

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把（1，2）代入得

1

a2

+

4

a2-1

=1，解得a2=3+2

2

或a2=3-2

2

（舍去）
∴a=

2

+1或a=-

2

-1（舍去）
若設(shè)AC=2，以AC為x軸，以AC的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，
可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是C（1，0），A（-1，0），且過點(diǎn)（0，1），則c=1，b=1a=

2

，∴e=

2

2

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要恰當(dāng)?shù)亟�立坐�?biāo)系．