Question

已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上一點(diǎn)A（m，-3）到焦點(diǎn)F的距離是5，求拋物線的方程及m的值．

Answer 1

分析：分拋物線的焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況加以討論，分別根據(jù)點(diǎn)A在拋物線上和拋物線的定義建立方程組，解之即可得到相應(yīng)的拋物線方程和實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：分三種情況加以討論
（1）當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，設(shè)其方程為y²=2px（p＞0）
代入A點(diǎn)坐標(biāo)，得2pm=9…①
∵拋物線上一點(diǎn)A（m，-3）到焦點(diǎn)F的距離為5
∴m+

p

2

=5…②
將①②兩式聯(lián)解得：m=

1

2

、p=9或m=

9

2

、p=1，
相應(yīng)的拋物線方程為y²=18x和y²=2x；
（2）當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)其方程為y²=-2px（p＞0）
代入A點(diǎn)坐標(biāo)，得-2pm=9…③
∵拋物線上一點(diǎn)A（m，-3）到焦點(diǎn)F的距離為5，∴-m+

p

2

=5…④
將③④兩式聯(lián)解得：m=-

1

2

、p=9或m=-

9

2

、p=1，
相應(yīng)的拋物線方程為y²=-18x和y²=-2x；
可得m=-

1

2

或m=

9

2

，相應(yīng)的拋物線方程為y²=-18x或y²=-2x；
（3）當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為x²=-2qy（q＞0）
將點(diǎn)A（m，-3）代入方程，得m²=6q…③
∵拋物線上一點(diǎn)A（m，-3）到焦點(diǎn)F的距離為5
∴3+

q

2

=5解之得q=4，代入③得m=±2

6

此時(shí)拋物線的方程為x²=-8y，
綜上所述，拋物線方程為y²=18x，m=

1

2

；或拋物線方程為y²=2x，m=

9

2

；或拋物線方程為y²=-18x，m=-

1

2

；或拋物線的方程為y²=-2x，m=

9

2

；或拋物線的方程為x²=-8y，m=±2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線，在已知點(diǎn)A在拋物線上時(shí)求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)，屬于中檔題．