Question

已知矩陣M=

1 b c 2

有特征值λ₁=4及對應(yīng)的一個特征向量

e1

=

2′ 3′

．
（1）求矩陣M；
（2）求曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程．

Answer 1

分析：（1）由矩陣M=[

1 b c 2

]有特征值λ₁=4及對應(yīng)的一個特征向量

e1

=

2′ 3′

，可得[

1 b c 2

]

2′ 3′

=

8′ 12′

，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩陣M；
（2）設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點為P′（x′，y′），則

x′′ y′′

=[

1 2 3 2

]

x′ y′

，即

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y′ 4

，代入曲線5x²+8xy+4y²=1后化簡可得曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程．

解答：解：（1）∵M=[

1 b c 2

]，

e1

=

2′ 3′

．
則[

1 b c 2

]

2′ 3′

=

8′ 12′

即2+3b=8，2c+6=12
解得b=2，c=3
∴M=[

1 2 3 2

]
（2）設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點為P′（x′，y′），
則

x′′ y′′

=[

1 2 3 2

]

x′ y′

即

x′=x+2y y′=3x+2y

即

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y′ 4

代入曲線5x²+8xy+4y²=1得x′²+y′²=2
即曲線5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲線方程為x²+y²=2

點評：本題考查的知識點是特征值與特征向量的計算，熟練掌握矩陣的運算法則是解答的關(guān)鍵