Question

【題目】如圖，橢圓E的左右頂點分別為A、B，左右焦點分別為F1、F2 ， |AB|=4，|F1F2|=2 ，直線y=kx+m（k＞0）交橢圓于C、D兩點，與線段F1F2及橢圓短軸分別交于M、N兩點（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）若m＞0，設(shè)直線AD、BC的斜率分別為k1、k2 ， 求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，可知 即橢圓方程為

離心率為

（Ⅱ）設(shè)D（x1，y1），C（x2，y2）易知 ．

由 消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由△＞04k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，

且|CM|=|DN|即 可知 ，即 ，解得 ．

由題知，點M、F1的橫坐標(biāo) ，有 ，

易知 滿足m2＜2，

即 ，則

【解析】（Ⅰ）由 ，求出a，c，然后求解橢圓的離心率．（Ⅱ）設(shè)D（x1，y1），C（x2，y2）通過 ，結(jié)合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韋達(dá)定理|CM|=|DN|．求出直線的斜率，然后表示出 ，然后求解它的范圍即可．