Question

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)閇α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）證明：對(duì)于，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，則++＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設(shè)α≤x₁＜x₂≤β，則4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，利用單調(diào)函數(shù)的定義證明f（x）在區(qū)間[α，β]上是增函數(shù)．從而求得函數(shù)f（x）的最大值與最小值，最后寫(xiě)出g（t）
（Ⅱ）先證：從而利用均值不等式與柯西不等式即得：++＜．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)α≤x₁＜x₂≤β，則4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，∴
則
又
故f（x）在區(qū)間[α，β]上是增函數(shù)．（3分）
∵，∴=（6分）
（Ⅱ）證：（9分）∴（15分）∵，而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，∴++＜．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明、函數(shù)的最值及其幾何意義，解答關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性求最值及均值不等式與柯西不等式的靈活運(yùn)用．