如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的點到左焦點為F的最大距離是2+
3
，已知點M（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在x軸上的射影為點N，直線QN交橢圓于另一點H．證明：對任意的K＞0，點P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓上的點到左焦點為F的最大距離是2+
3
，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設出直線QN的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題意，
a+c=2+
3
1
a2
+
c2
a2b2
=1
a2=b2+c2
，解得a2=4，b2=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）證明：令P（x1，kx1），H（xH，yH），則Q（-x1，-kx1），N（x1，0）
∴kPN=
k
2
，∴直線QN的方程為y=
k
2
（x-x1），
代入
x2
4
+y2=1，整理得（1+k2）x2-2k2x1x+k2x12-4=0
∴（-x1）+xH=
2k2x1
1+k2
，∴xH=
2k2x1
1+k2
+x1，
∴
PQ
=（-2x1，-2kx1），
PH
=（
2k2x1
1+k2
，
-kx1
1+k2
）
∴
PQ
•
PH
=
-2k2x12
1+k2

∵k＞0，x1＞0，∴
PQ
•
PH
＜0
∴對任意的k＞0，點P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點P(1，
3
2
)，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
1
2
，M，N是橢圓右準線上的兩個動點，且
F1M
•
F2N
=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武清區(qū)一模）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0）、
F2（1，0），M、N是直線x=a2上的兩個動點，且
F1M
•
F2N
=0．
（1）設曲線C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關(guān)系；
（2）若以MN為直徑的圓中，最小圓的半徑為2
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（　�。�

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