Question

已知橢圓長軸上有一頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為：3＋2，3－2.
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線 與橢圓相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），證明：直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點(diǎn)Q(1,0 )作直線l (與x軸不垂直）與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若，求證：為定值.

Answer 1

（1）       （2）直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在雙曲線上.  （3）    

(1)由題意可知a+c,和a-c,所以可求出a,c的值,進(jìn)而求出b的值.
(2)依題意可設(shè)，且有，然后求出CA、DB的方程,解出它們的交點(diǎn)再證明交點(diǎn)坐標(biāo)是否滿足雙曲線的方程即可.
(3) 設(shè)直線的方程為，再設(shè)、、，然后直線方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)，可找到,,同理,則,然后再利用韋達(dá)定理證明
（1）由已知，得，，
所以橢圓方程為       4分
（2）依題意可設(shè)，且有，
又，，，
將代入即得
所以直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在雙曲線上.       9分
（3）依題意，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，
設(shè)，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，
消去整理得，所以，① 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222529104717.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即，因?yàn)閘與x軸不垂直，所以，則，
又，同理可得，所以
由①式代人上式得