Question

在中央電視臺(tái)“開(kāi)心辭典”欄目有一道試題，給出了文房四寶（宣筆、徽墨、宣紙、歙硯）和它們的原產(chǎn)地（記為A、B、C、D），要求挑戰(zhàn)者把文房四寶和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)地在答題板上用筆一對(duì)一地連起來(lái)，每正確連對(duì)一組得2分，連錯(cuò)不得分，得分4分及以上可以參加下一關(guān)的挑戰(zhàn)．
（1）求挑戰(zhàn)者得2分的概率．
（2）求挑戰(zhàn)者所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）從4對(duì)文房四寶和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)地完全正確的選取一對(duì)，而其余三隊(duì)完全配對(duì)錯(cuò)誤的方法只有2種，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（2）利用排列的計(jì)算公式、分類討論、概率的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望即可得出．

解答：解：（1）記挑戰(zhàn)者得2分為事件E，則從4對(duì)文房四寶和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)地完全正確的選取一對(duì)，而其余三隊(duì)完全配對(duì)錯(cuò)誤的方法只有2種，故P（E）=

2 C 1 4

A 4 4

=

1

3

．
（2）挑戰(zhàn)者所得分?jǐn)?shù)ξ可取0，2，4，8．
對(duì)產(chǎn)地A，B，C，D的全排列共有4！=24，其中①文房四寶和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)地完全正確一對(duì)一地連起來(lái)只有一種方法，即得8分的P（ξ=8）=

1

24

；
②文房四寶和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)地只有2對(duì)正確地連起來(lái)的方法共有

C

2 4

=6種，故P（ξ=4）=

6

24

=

1

4

；
③由（1）可知：P（ξ=2）=

1

3

；
④由概率的規(guī)范性可得P（ξ=0）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）-P（ξ=8）=1-

1

3

-

1

4

-

1

24

=

3

8

．
故其分布列如下：

ξ	0	2	4	8
P	3 8	1 3	1 4	1 24

∴Eξ=0+2×

1

3

+4×

1

4

+8×

1

24

=2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式、排列的計(jì)算公式、分類討論、概率的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．