Question

（2013•惠州模擬）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，E是棱CD上中點，P是棱AA₁中點，
（1）求證：PD∥面AB₁E；
（2）求三棱錐B-AB₁E的體積．

Answer 1

分析：（1）取AB₁中點Q，連接PQ，利用三角形中位線定理和正方體的性質，證出四邊形PQDE為平行四邊形，可得PD∥QE，利用線面垂直判定定理即可證出PD∥面AB₁E；
（2）由正方體的性質，算出BB₁=2是三棱錐B₁-ABE高，而S_△ABE=

1

2

 S_ABCD=2，利用錐體體積公式算出V_B1-ABE=

1

3

S_△ABE•BB₁=

4

3

，即得三棱錐B-AB₁E的體積．

解答：解：（1）取AB₁中點Q，連接PQ，
∵△AA₁B₁中，PQ為中位線，
∴PQ

∥

.

1

2

A₁B₁，…（2分）
又∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CD中點，
∴DE

∥

.

1

2

A₁B₁，…（4分）
∴PQ

∥

.

DE，得四邊形PQDE為平行四邊形，可得PD∥QE…（6分）
∵QE?平面AB₁E，PD?平面AB₁E，
∴PD∥面AB₁E；…（8分）
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABE，
∴BB₁為三棱錐B₁-ABE高，BB₁=2…（10分）
∵四邊形ABCD為正方形，∴S_△ABE=

1

2

 S_ABCD=2…（12分）
故三棱錐B-AB₁E的體積為
V_B-AB1E=V_B1-ABE=

1

3

S_△ABE•BB₁=

4

3

…（14分）

點評：本題在正方體中求證線面平行，并求錐體的體積．著重考查了正方體的性質、線面平行的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．