Question

【題目】某公司生產一批A產品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元．該公司通過設備升級，生產這批A產品所需原材料減少了x噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高0.5x%；若將少用的x噸原材料全部用于生產公司新開發(fā)的B產品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤為12（a﹣ x）萬元（a＞0）．
（1）若設備升級后生產這批A產品的利潤不低于原來生產該批A產品的利潤，求x的取值范圍．
（2）若生產這批B產品的利潤始終不高于設備升級后生產這批A產品的利潤，求a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，

∴x2﹣300x≤0，

∵x＞0，

∴0＜x≤300；

（2）解：生產B產品創(chuàng)造利潤12（a﹣ x）x萬元，設備升級后生產這批A產品的利潤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴12（a﹣ x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴a≤ + + ．

∵ + ≥2 =4，當且僅當 = ，即x=250時等號成立，

∴0＜a≤5.5，

∴a的最大值是5.5

【解析】（1）由題意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范圍．（2）利用生產這批B產品的利潤始終不高于設備升級后生產這批A產品的利潤，建立不等式，即可求a的最大值．
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應用和函數的零點是解答本題的根本，需要知道用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點．