Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求的值；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

(2)若關(guān)于的不等式在有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由為奇函數(shù)可知， ，即可得解；

（2）由遞增可知在上為減函數(shù)，對于任意實數(shù)，不妨設(shè)，化簡判斷正負(fù)即可證得；

（3）不等式，等價于，即，原問題轉(zhuǎn)化為在上有解，求解的最大值即可.

試題解析

解：(1)由為奇函數(shù)可知， ，解得.

(2)由遞增可知在上為減函數(shù)，

證明：對于任意實數(shù)，不妨設(shè)，

∵遞增，且，∴，∴，

∴，故在上為減函數(shù).

(3)關(guān)于的不等式，

等價于，即，

因為，所以，

原問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

∵在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴， 的值域為，

∴，解得，

∴的取值范圍是.

點晴:本題屬于對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考察，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時有；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.本題中可以利用對稱性數(shù)形結(jié)合即可.