Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A,B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,

CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A,B等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km．

（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OP(km) ，將表示成的函數(shù)關(guān)系式．

（Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)的概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用．

（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故

，又OP＝，

所以，

所求函數(shù)關(guān)系式為

②若OP=(km) ，則OQ＝10－，所以O(shè)A =OB=

所求函數(shù)關(guān)系式為

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，

令0 得sin ，因?yàn)?SUB>，所以=，

當(dāng)時(shí)， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊

km處。