設(shè)平面向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)．
①求證：向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直．
②當(dāng)兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等時，且α∈(0，
π
2
)，求角α．
分析：①根據(jù)兩個向量的坐標求出它們的模，計算 (
a
+
b
)•(
a
-
b
)=0，可得向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直．
②求出
3
a
+
b
 的坐標，可得它的模，再求出
a
-
3
b
的坐標，可得它的模．根據(jù)兩個向量的模相等可得tanα=
3
3
，由此求得α 的值．
解答：解：①證明：∵
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)，
∴|
a
|=1，|
b
|=1，(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2-
b
2=0，
向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直．
②∵
3
a
+
b
=（
3
cosα-
1
2
，
3
sinα+
3
2
），
|
3
a
+
b
|=
(3cosα - 
1
2
)2+(
3
sinα+ 
3
2
) 2
=-
3
cosα+3sinα+4．
a
-
3
b
=（cosα+
3
2
，sinα-
3
2
），
|
a
-
3
b
|=
(cosα+
3
2
)2+(sinα -
3
2
)2
=
3
cosα-3sinα+4．
由兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等可得-
3
cosα+3sinα+4=
3
cosα-3sinα+4，
解得tanα=
3
3
，又α∈(0，
π
2
)，
∴α=
π
6
．
點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，求向量的模的方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀：
設(shè)平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
與
b
的夾角為θ，
因為
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合空間向量，證明：對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)成立；
（II）試求函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省會考題 題型：解答題

設(shè)平面向量a=（2，sinα），b=（cosα，），且a∥b，求sin2α的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

請先閱讀：
設(shè)平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
與
b
的夾角為θ，
因為
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a21
+
a22
×
b21
+
b22
，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合空間向量，證明：對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a21
+
a22
+
a23
)(
b21
+
b22
+
b23
)成立；
（II）試求函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．

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