【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(﹣3)=0,當(dāng)x>0時(shí),有f(x)﹣xf′(x)>0成立,則不等式f(x)>0的解集是(
A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
C.(﹣3,0)∪(0,3)
D.(﹣3,0)∪(3,+∞)

【答案】A
【解析】解:設(shè)g(x)=
則g′(x)= ,
∵當(dāng)x>0時(shí),有f(x)﹣xf′(x)>0成立,
∴當(dāng)x>0時(shí),有xf′(x)﹣f(x)<0成立,即此時(shí)g′(x)<0,函數(shù)g(x)為減函數(shù),
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(﹣3)=0,
∴f(3)=0,且g(x)是偶函數(shù),g(3)=g(﹣3)=0,
當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0等價(jià)為g(x)>0,即g(x)>g(3),得0<x<3,
當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0等價(jià)為g(x)<0,即g(x)<g(﹣3),
此時(shí)函數(shù)g(x)增函數(shù),得x<﹣3,
綜上不等式f(x)>0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3),
故選:A.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇;若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求證:.

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A.
B.
C.
D.

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