Question

求證：二項(xiàng)式x²ⁿ-y²ⁿ(n∈N*)能被x+y整除

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y) 　　∴　能被x+y整除 　　(2)假設(shè)n=k時(shí)，x2k-y2k能被x+y整除 　　那么n=k+1時(shí) 　　即x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2y2k-y2·y2k 　　　　　　　 =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) 　　∵　x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除 　　∴　x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y

提示：

由假設(shè)以x2k+2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設(shè)，剩余部分仍然能被x+y整除．