【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)，).（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）當時，是否存在實數(shù)，使得當時，不等式恒成立？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請說明理由(其中是自然對數(shù)的底數(shù)，).

【答案】（Ⅰ） 當時， 的增區(qū)間為和.

當a>0時，增區(qū)間為和，減區(qū)間為和

（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）

①當時，恒成立，

于是的增區(qū)間為和.

②當時，由,得或.列表得

＋

0

－

－

0

＋

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

于是增區(qū)間為和，

減區(qū)間為和

綜上可得, 當時， 的增區(qū)間為和.

當時，增區(qū)間為和，減區(qū)間為和

（Ⅱ）當時，對于任意時，不等式恒成立等價于

因為,所以在上遞增.

所以

由（Ⅰ）知

①當，即時，在上單調遞減，

故時,成立.

②當，

當時，，

故時,成立.

當時，

,得又,

故時,成立.

③當，即時,

,得與矛盾.

綜上所述，存在實數(shù)時，對于任意時，不等式恒成立.

(轉化為恒成立后,用分離參數(shù)法求解,比照給分)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年 份

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.7

3.6

3.3

4.6

5.4

5.7

6.2

對變量t與y進行相關性檢驗，得知t與y之間具有線性相關關系．

（1）求y關于t的線性回歸方程；

（2）預測該地區(qū)2017年的居民人均純收入．

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某幾何體的三視圖如圖所示,P是正方形ABCD對角線的交點,G是PB的中點.

(1)根據(jù)三視圖,畫出該幾何體的直觀圖.

(2)在直觀圖中,①證明:PD∥平面AGC;

②證明:平面PBD⊥平面AGC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了了解兩班學生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名學生進行調查，將他們觀看的時長（單位：小時）作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）．

（1）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學生平均觀看的時間較長；

（2）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線過定點

(1)若直線與圓相切，求直線的方程。

(2)若直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、2萬件、1.3萬件，為了預測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線；

(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3個不同的根，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段．下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.

學生序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

立定跳遠

(單位：米)

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

30秒跳繩

(單位：次)

63

a

75

60

63

72

70

a－1

b

65

在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則(　　)

A. 2號學生進入30秒跳繩決賽 B. 5號學生進入30秒跳繩決賽

C. 8號學生進入30秒跳繩決賽 D. 9號學生進入30秒跳繩決賽

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米方到達C處，則索道AC的長為________米.

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