【題目】如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

(1)證明:G是AB的中點(diǎn);
(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.

【答案】
(1)

證明:∵P﹣ABC為正三棱錐,且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影,

∴PD⊥平面ABC,則PD⊥AB,

又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影,

∴DE⊥面PAB,則DE⊥AB,

∵PD∩DE=D,

∴AB⊥平面PDE,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G,

則AB⊥PG,

又PA=PB,

∴G是AB的中點(diǎn);


(2)

∵正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,

∴PB⊥PA,PB⊥PC,則PB⊥平面PAC,

而PB平面PAB,則平面PAB⊥平面PAC,

在平面PAB中,過E作EF⊥PA,則EF⊥平面PAC,

即F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

由于PA=PB=PC=6,故AB=BC=AC=6 ,

易知PG= =3 ,GD= = ,由勾股定理得PD= =2 ,


【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC,進(jìn)而可得PD⊥AB,同理可得DE⊥AB,結(jié)合兩者分析可得AB⊥平面PDE,進(jìn)而分析可得AB⊥PG,又由PA=PB,由等腰三角形的性質(zhì)可得證明;(2)由線面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC,進(jìn)而由于PB平面PAB,可得平面PAB⊥平面PAC,由此可以在平面PAB中,過E作EF⊥PA,可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.
進(jìn)而由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案.;本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系.

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(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);

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