如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為（ ）

A．4π
B．2π
C．π
D．
【答案】分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長(zhǎng)度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分．
解答：解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的球面積．
所以答案為，

故選D．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計(jì)算公式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形B1EDF為菱形；
（2）求A1C與DE所成的角的余弦值．

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A、4π
B、2π
C、π
D、
π
2

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如圖所示，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求：
（1）點(diǎn)P到面ABCD的距離大于的概率P1；
（2）點(diǎn)P到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率P2。

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