【題目】如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.

（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標，設平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.

（1）因為，故，

所以四邊形為菱形，

而平面，故.

因為，故，

故，即四邊形為正方形，故.

（2）依題意，.在正方形中，，

故以為原點，所在直線分別為、、軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系；

如圖所示：

不紡設，

則，

又因為，所以.

所以.

設平面的法向量為，

則，

即，

令，則.于是.

又因為，

設直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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纖維長度

甲地（根數(shù)）

3

4

4

5

4

乙地（根數(shù)）

1

1

2

10

6

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.

甲地

乙地

總計

長纖維

短纖維

總計

附：（1）；

（2）臨界值表；

0．10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（2）現(xiàn)從上述40根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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①；②； ③； ④．

其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為（ ）

（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④

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（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）過原點且關(guān)于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于、和、，且點在第一象限，當四邊形的周長最大時，求直線的普通方程．

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（1）求的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；

（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．

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