極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點,極軸為z軸的正半軸,兩種坐標系的長度單位相同,己知圓C1的極坐標方程為p=4(cosθ+sinθ),P是C1上一動點,點Q在射線OP上且滿足
OQ=OP,點Q的軌跡為C2
(I)求曲線C2的極坐標方程,并化為直角坐標方程;
( II)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤φ<π),l與曲線C2有且只有一個公共點,求φ的值.

解:(Ⅰ)設點P、Q的極坐標分別為(ρ0,θ)、(ρ,θ),
則 ρ= ρ0×4(cosθ+sinθ)=2(cosθ+sinθ),
點Q軌跡C2的極坐標方程為ρ=2(cosθ+sinθ),
兩邊同乘以ρ,得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),
C2的直角坐標方程為x2+y2=2x+2y,
即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ)將l的代入曲線C2的直角坐標方程,
得(tcosφ+1)2+(tsinφ﹣1)2=2,
即t2+2(cosφ﹣sinφ)t=0,
 t1=0,t2=sinφ﹣cosφ,
由直線l與曲線C2有且只有一個公共點,
得sinφ﹣cosφ=0,
因為0≤φ<π,
所以φ= .

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    1
    2
    t
    y=1+
    3
    2
    t
    (t
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    1
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