Question

設(shè)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R滿足f（ab）-af（b）=bf（a），f(3)=3，an=

f(3n)

3n

，bn=

f(3n)

n

，n∈N*．有下列結(jié)論：
①f（1）=f（0）=0；
②f（x）為偶函數(shù)；
③數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
④數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：給a、b賦值，使它們都等于0，再使它們都等于1，得到結(jié)論①正確；由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數(shù)；根據(jù)f（ab）-af（b）=bf（a），可得

f(3n)

3n

=

f(3)

3

+

f(3)

3

+…+

f(3)

3

（共n個(gè)）=n，從而f（3ⁿ）=n×3ⁿ，由此可得③④正確．

解答：解：①∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，∴f（0）=f（1）=0，即①正確；
②∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0，∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函數(shù)．故②不正確；
③∵f（ab）-af（b）=bf（a），∴

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

，∴

f(abc)

abc

=

f(a)

a

+

f(b)

b

+

f(c)

c

，
以此類(lèi)推

f(3n)

3n

=

f(3)

3

+

f(3)

3

+…+

f(3)

3

（共n個(gè)）=n，
∴f（3ⁿ）=n×3ⁿ，∴a_n=

f(3n)

3n

=n，故③正確．
④b_n=

f(3n)

n

=3ⁿ，故④正確．
∴正確的是①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)用了函數(shù)的賦值法，函數(shù)的奇偶性，等差、等比數(shù)列的定義等知識(shí)，要細(xì)心解答．