Question

如右圖所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

 

Answer 1

（本小題主要考查空間線線關(guān)系.面面關(guān)系.空間向量及坐標(biāo)運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合.化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力.推理論證能力和運算求解能力）

（1）證法1：∵平面，平面，

∴．

又為正方形，

∴．

∵，

∴平面．…………………4分

∵平面，　 ∴．

∵，

∴．…………………6分

證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，， ，，

，．…………………4分

∵，

∴．…………………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，

，，

，，

．…………………8分

設(shè)平面DFG的法向量為，

∵　

令，得是平面的一個法向量．…………10分

設(shè)平面EFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．……………12分

∵．

設(shè)二面角的平面角為θ，則．

所以二面角的余弦值為．…………………14分

解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，

，．…………………8分

過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，

∴，

∵，

∴，

即，解得．…………………10分

∴．　再過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵， ∴，

即，

解得．∴．

∴．…………………12分

∵與所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值為．…………………14分