Question

【題目】定義區(qū)間，，，的長度為.如果一個函數的所有單調遞增區(qū)間的長度之和為（其中，為自然對數的底數），那么稱這個函數為“函數”.下列四個命題：

①函數不是“函數”；

②函數是“函數”，且；

③函數是“函數”；

④函數是“函數”，且.

其中正確的命題的個數為（ ）

A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用導數、函數的圖象，對四個命題逐一判斷出真假。

分析命題①： 定義域為，，

，函數在上是單調遞增，顯然這個區(qū)間沒有長度，因此函數不是“函數”，故命題①是真命題。

分析命題②：，定義域為，

當時，函數是增函數，

構造兩個函數，，圖象如下圖所示：

通過圖象可知當，而，即， ，所以當時，函數是增函數，增區(qū)間的長度為，又因為顯然有成立，所以函數是“m函數”， 即成立，故命題②是真命題。

分析命題③： 函數 定義域為，

顯然時，，此時函數是單調遞增函數，增區(qū)間為，而區(qū)間沒有長度，故函數不是“函數”，故命題③是假命題。

分析命題④：函數 定義域，

當時，是增函數，故只需成立，是增函數，

也就是成立，是增函數，構造二個函數， 如下圖所示：

通過圖象可知：當時，，而，所以。從而有時，時，函數是增函數，顯然區(qū)間長度為，而

所以函數是“函數”，又，即。故命題④是真命題。

綜上所述：正確的命題的個數為3個，故本題選B。