Question

動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C₁，圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，圓C₂與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4。
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a，0）（a＞2），若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，即，
化簡得，，
∴曲線C₁的方程為。
（2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，圓C₂的半徑為r，
∵ 點(diǎn)T是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴()，
∴ ，
∵a＞2，∴a-2＞0，則當(dāng)時(shí)，|AT|取得最小值為， 
依題意得，兩邊平方得，
解得：a=5或a=1(不合題意，舍去)，
∴，，即，
∴圓的圓心T的坐標(biāo)為，
∵圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，
∴，
∴，
∵點(diǎn)T到直線l的距離，
∴直線l與圓相離。