Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設點P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點P處的切線與C₁交于點M，N．若存在點P，使得線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓右頂點A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1，建立方程組，即可求出橢圓方程；
（2）不妨設，求出直線MN的方程代入橢圓C₁的方程，根據直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點，所以有△＞0，利用線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等，建立方程，從而可得h的取值范圍．
解答：解：（1）由題意得，∴，…（3分）
∴所求的橢圓方程為…（5分）
（2）不妨設，則拋物線C₂在點P處的切線斜率為y'|_x=t=2t，…（6分）
∴直線MN的方程為y=2tx-t²+h，代入橢圓C₁的方程中，得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，…（7分）
因為直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點，所以有△=16t²（t²-h）²-16（1+t²）[（t²-h）²-4]＞0
即-（t²-h）²+4+4t²＞0，…（8分）
設線段MN的中點的橫坐標是x₃，則，
設線段PA的中點的橫坐標是x₄，則，
由題意得x₃=x₄，即有t²+（1+h）t+1=0，顯然t≠0
∴（t≠0）…（9分）
∴t⁴+2t³-2t²+2t+1＜0，即（t²+t+1）²-5t²＜0
解得
而
又在上遞增，
在上遞減…（11分）
∴當t=-1時，h取到最小值1；…（12分）
當或時，h的值都為
∴h的取值范圍是…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查拋物線的切線，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．