Question

如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A，B，C．景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．
（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1km）
（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果精確到0.1km）

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求DE的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求∠DBE的度數(shù)或三角函數(shù)值的問(wèn)題．
（2）Rt△DCE中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=

1

2

AD=

1

2

×8=4，∴DF=

AD2-AF2

=

82-42

=4

3

；
在Rt△ABF中，BF=

AB2-AF2

=

52-42

=3，∴BD=DF-BF=4

3

-3
sin∠ABF=

AF

AB

=

4

5

，在Rt△DBE中，sin∠DBE=

DE

BD

，
∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=

4

5

，∴DE=BD•sin∠DBE=

4

5

×（4

3

-3）=

16 3 -12

5

≈3.1（km）
∴景點(diǎn)D向公路a修建的這條公路的長(zhǎng)約是3.1km；
（2）由題意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE=

4

5

=0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°-75°-53°=52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE=

DE

DC

，∴DC=

DE

sin52°

≈

3.1

0.79

≈4（km）
∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為4km．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解直角三角形的條件，已知直角三角形的一個(gè)銳角和一邊長(zhǎng)，或已知兩邊長(zhǎng)就可以求出另外的邊和角．