Question

（2002•上海）已知函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）用反證法證明f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=a^x+1-

3

x+1

，而函數(shù) y=a^x（a＞1）和函數(shù)y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都為增函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）假設(shè)f（x）=0有負(fù)數(shù)根為x=x₀＜0，則有ax0+1=

3

x0+1

①．分當(dāng)x₀∈（-1，0）時(shí)、當(dāng)x₀∈（-∞，-1）兩種情況，分別根據(jù)

3

x0+1

和ax0+1 的范圍，可得①根本不可能成立，綜上可得假設(shè)不成立，命題得證．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）=a^x+1-

3

x+1

，
而函數(shù) y=a^x（a＞1）和函數(shù)y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）假設(shè)f（x）=0有負(fù)數(shù)根為x=x₀，且x₀＜0，則有f（x₀）=0，故有ax0+1=

3

x0+1

 ①．
由于函數(shù)y=a^x+1在R上式增函數(shù)，且a⁰+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函數(shù)y=

3

x+1

 在（-1，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)x₀∈（-1，0）時(shí)，

3

0+1

=3，∴

3

x0+1

＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函數(shù)y=

3

x+1

在（-∞，-1）上是增函數(shù)，當(dāng)x₀∈（-∞，-1）時(shí)，

3

x0+1

＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
綜上可得，①根本不可能成立，故假設(shè)不成立，故f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，用反證法證明不等式，屬于中檔題．