附加題：
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a（a為實數(shù)），
（1）求不等式f′(x)＞
3
2
-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②證明對任意的x1，x2∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜
5
16
恒成立．
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)：f/(x)=3x 2+2ax+
3
2
，因此不等式f′(x)＞
3
2
-ax的解集可化為x（x+a）＞0，分類討論可以得出解集的三種不同情況；
（2）根據(jù)f′（1）=0解出a=
9
4
，從而f/(x)=3x 2+
9
2
x+
3
2
=3(x+
1
2
)(x+1)，討論其零點即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而找出函數(shù)在[1，0]上最大最小值的差，證明這個差小于
5
16
即可．
解答：解：（1）不等式可化為x（x+a）＞0，
當(dāng)a＞0時，解集為{x|x＞0或x＜-a}；
當(dāng)a=0時，解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＜0時，解集為{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴3-2a+
3
2
=0，a=
9
4
，
∴f′(x)=3x2+
9
2
x+
3
2
=3(x+
1
2
)(x+1)，由f′(x)＞0，x＜-1或x＞-
1
2
；
①由f′(x)＜0，-1＜x＜-
1
2

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1)，(-
1
2
，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(-1，-
1
2
)（10分）
②由上知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1)，(-
1
2
，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，-
1
2
)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值M=
27
8
，最小值m=
49
16
（12分）
∴對任意x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=
27
8
-
49
16
=
5
16
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)工具研究三次函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)在某區(qū)間上的值域問題，屬于中檔題．解決本題應(yīng)注意轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）已知函數(shù)f（x）=x2-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同時滿足下列條件①函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]；則稱f（x）為區(qū)間D上的閉函數(shù)，試判斷函數(shù)f（x）=x2-2kx+k+1是否為區(qū)間[k，+∞）上的閉函數(shù)？若是求出實數(shù)k的取值范圍，不是說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f(kx+
π
12
)(k＞0)在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；
（III）是否存在實數(shù)m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]內(nèi)僅有一解，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）已知函數(shù)f（x）=x2+px+q，對于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0．
（1）求p、q之間的關(guān)系式；
（2）求p的取值范圍；
（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此時f（sinθ）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

附加題：
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+
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x+
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a（a為實數(shù)），
（1）求不等式f′(x)＞
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-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②證明對任意的x1，x2∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜
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恒成立．

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