【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．

（1）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)恰好為點(diǎn)，求該直線的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)和離心率求出橢圓方程，結(jié)合點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，求出直線斜率，求解直線方程；

（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出線段的垂直平分線方程，得出的表達(dá)式，利用函數(shù)關(guān)系求解取值范圍.

（1）由題意，得，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

設(shè)點(diǎn)，，則

兩式相減得，

又，，代入得，即，

故所求直線的方程是，即．

（2）（i）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，符合題意．

（ii）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，．

聯(lián)立方程

消去，可得，易知．

設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，

則，，

所以，

所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由題意可知，，，

故直線的方程為．

令，得，即．

當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，圓， 是圓M內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E

（1）求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)D(0，3)作直線m與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C滿足 (O為原點(diǎn))，求四邊形OACB面積的最大值，并求此時(shí)直線m的方程；

（3）已知拋物線上，是否存在直線與曲線E交于G，H，使得G，H的中點(diǎn)F落在直線y=2x上，并且與拋物線相切，若直線存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為0．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為2．若對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立．

（1）求，，；

（2）求證：是等比數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列，，…，（，）為等差數(shù)列，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的，（），求的最大值；

（3）若的極大值為，求不等式的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 ，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn).證明：，，三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，，，則________.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

①四面體每個(gè)面的面積相等

②四面體每組對(duì)棱相互垂直

③連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分

④從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線M:的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點(diǎn)A，B，A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

(1)求證:直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)；

(2)若的垂直平分線交拋物線于C，D，四邊形外接圓圓心N的橫坐標(biāo)為19，求直線AB和圓N的方程.

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