(2011•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
cos2x
sin(x+
π
4
)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若f(x)=
4
3
,求sin2x的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)分母不為0,得到sin(x+
π
4
)不等于0,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)把函數(shù)解析式中的分母利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn),分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),并利用平方差公式分解因式,分子分母約分后可得出化簡(jiǎn)結(jié)果,然后根據(jù)f(x)的值得出cosx-sinx的值,最后把所求的式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),加上1減去1和原式保持相等,再把“1”化為sin2x+cos2x后,利用完全平方公式化為關(guān)于cosx-sinx的式子,把求出的cosx-sinx的值代入即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)由題意,sin(x+
π
4
)≠0
,(2分)
所以x+
π
4
≠kπ(k∈Z)
,(3分)
所以x≠kπ-
π
4
 (k∈Z)
,(4分)
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ-
π
4
,k∈Z }
;(5分)
(Ⅱ)f(x)=
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
cos2x
sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
(7分)
=
2
cos2x
sinx+cosx
(8分)
=
2
(cos2x-sin2x)
sinx+cosx
=
2
(cosx-sinx)
,(10分)
因?yàn)?span id="hrsjcuj" class="MathJye">f(x)=
4
3
,所以cosx-sinx=
2
2
3
.(11分)
所以sin2x=2sinxcosx=1-(1-2sinxcosx)=1-(cosx-sinx)2=1-
8
9
=
1
9
.(13分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值,第二問利用湊項(xiàng)法把所求的式子化為關(guān)于cosx-sinx的式子是解題的關(guān)鍵,同時(shí)注意“1”的靈活變換.
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2

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(Ⅱ)求證:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱錐M-ABD的體積.

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(2011•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=(1-
ax
)ex(x>0)
,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),且極大值與極小值的積為e5,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
2
sin(x+
π
4
)-
1
3
sinx

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若f(x)=2,求sin2x的值.

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