Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為

 

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Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)區(qū)間以及其極大值點(diǎn)，進(jìn)而求出其極大值；再利用等比數(shù)列的求和公式求出函數(shù)f（x）的各極大值之和即可．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以：f'（x）=[e^x（sinx-cosx）]'=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx．
f'（x）=0?x=kπ，
當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+π時(shí)，f'（x）＞0，原函數(shù)遞增
當(dāng)2kπ+π＜x≤2kπ+2π時(shí)，f'（x）＜0，原函數(shù)遞減．
∴x=2kπ+π時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值此時(shí)f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又∵0≤x≤2011π
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π=

eπ(1-(e2π)1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故答案為：

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．在求函數(shù)的極大值時(shí)，須注意極大值兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值是先正后負(fù)，原函數(shù)是先增后減．