Question

（2009•大連一模）已知函數f（x）=1-2sin²x在點（

π

4

，f(

π

4

)）處的切線為l，則直線l、曲線f（x）以及直線x=

π

2

所圍成的區(qū)域的面積為（　　）

• A．

  3π2

  16

  -

  1

  2

• B．1-

  π2

  16

• C．

  π2

  16

  -

  1

  2

• D．2-

  π2

  5

Answer 1

分析：先利用二倍角公式化簡函數f（x）的解析式，利用導數求出該點的斜率，然后求出切點的坐標，得出切線的方程，最后根據定積分即可求出直線l、曲線f（x）以及直線x=

π

2

所圍成的區(qū)域的面積．

解答：解：∵f（x）=1-2sin²x=cos（2x），f（

π

4

）=0，
∴切點坐標為了（

π

4

，0）．
又f′（x）=-2sin2x．∴f′（

π

4

）=-2，
切線的斜率 k=-2，∵切線方程為：y=-2（x-

π

4

），
即y=-2x+

π

2

，
所以直線l、曲線f（x）以及直線x=

π

2

所圍成的區(qū)域的面積為：

∫

π 2 π 4

（cos2x+2x-

π

2

）dx=（

1

2

sin2x+x²-

π

2

x）

|

π 2 π 4

=

π2

16

-

1

2

．
故選C．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了定積分，屬于中檔題．