Question

已知橢圓C₁：=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P的圓C上異于A₁，A₂的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）在直線x+y-3=0上，若存在點(diǎn)N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和右準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)P，代入圓方程求得x，y的關(guān)系，進(jìn)而表示出直線PF，OQ的斜率，進(jìn)而可推斷出直線OQ的方程，把x=2代入求得y，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PQ的斜率的表達(dá)式，結(jié)果與OP的斜率乘積為-1，推斷出OP⊥PQ進(jìn)而可知直線P與圓C相切
（2）設(shè)∠OMN=θ，則依題意可知θ≥60°，進(jìn)而求得sinθ的范圍，根據(jù)ON=2確定OM的范圍，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M在直線l上，求得x，y的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)x²+y²≤，求得x的取值范圍．
解答：解：（1）直線P與圓C相切．
證明如下：易得橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F（，0），
右準(zhǔn)線為x=2
設(shè)點(diǎn)P（x，y）則有x²+y²=4，
又k_PF=，k_OQ=-
∴直線OQ的方程為y=x
令x=2，得y=-，
即Q（2，-）
∴k_PQ==-=-又k_OP=
于是有k_PQ•k_OP=-1，故OP⊥PQ，直線P與圓C相切
（2）如圖，設(shè)∠OMN=θ，則θ≥60°，
即sinθ≥，即≥，
而ON=2，∴OM≤
∵M(jìn)（x，y），∴x²+y²≤，
又由M（x，y）∈l，得x+y=3，
∴y=3-x，于是有x²+（3-x）²≤，
整理，得6x²-18x+11≤0，
解得≤x≤
∴x的取值范圍是[，]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類(lèi)問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，故應(yīng)作為平時(shí)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)．