Question

（2009•廣州模擬）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中點．
（I）求證：A₁C∥平面AD₁E；
（II）在對角線A₁C上是否存在點P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據線面平行的判定定理，先證明線線平行，再證線面平行
（2）先假設存在，建系，由線面垂直的性質定理，得到線線垂直，從而得到向量垂直，用向量垂直的坐標條件確定點P是否存在，并求線段PC的長

解答：證明：（1）連接A₁D，交AD₁于M，連接ME
則點M是A₁D的中點
又點E是CD的中點
∴ME∥A₁C
又∵A₁C?面AD₁E，ME?面AD₁E
∴A₁C∥平面AD₁E
（2）解：假設存在點P滿足題意
以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸建立空間直角坐標系
則點A（1，0，0）、E（0，

1

2

，0）、D₁（0，0，1）、A₁（1，0，1）
∴

AE

=(-1，

1

2

，0)，

AD1

=(-1，0，1)
設P（x，y，z），則

A1P

∥ 

A1C

∴

A1P

=λ

A1C

又

A1P

=(x-1，y，z-1)，

A1C

=(-1，1，-1)
∴（x-1，y，z-1）=λ（-1，1，-1）=（-λ，λ，-λ）
∴x-1=-λ，y=λ，z-1=-λ
∴x=-λ+1，y=λ，z=-λ+1，即P（-λ+1，λ，-λ+1）
∴

DP

=(-λ+1，λ，-λ+1)
∵DP⊥平面AD₁E
∴

DP

⊥

AE

，

DP

⊥

AD1

∴

DP

•

AE

=0，

DP

•

AD1

=0
∴

(-1， 1 2 ，0)•(-λ+1，λ，-λ+1)=0 (-1，0，1)•(-λ+1，λ，-λ+1)=0

∴λ=

2

3

∴在A₁C上存在點P(

1

3

，

2

3

，

1

3

)使得DP⊥平面AD₁E，
此時

A1P

=λ

A1C

=

2

3

A1C

∴A1P=

2

3

A1C
∴PC= 

1

3

A1C
又∵A1C=

A1A2+AB2+BC2

=

3

∴PC=

1

3

A1C=

3

3

點評：本題考查線面平行的判定和線面垂直的性質定理的應用，探索性問題一般先假設存在，再由條件求證．要求建系要準確，點和向量的 坐標要準確．屬中檔題