Question

若不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，則不等式

2a+b

x

+c＞b|x|的解集為

 

．

Answer 1

分析：根據不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，得到-1和2為ax²+bx+c=0的兩個根，且得到a小于0，根據韋達定理表示出兩根之和和兩根之積，用a表示出b和c，把表示出的b和c代入所求的不等式中，根據a小于0，化簡后得到關于x的不等式，然后分x大于0和x小于0兩種情況考慮，當x小于0時，根據負數的絕對值等于它的相反數化簡不等式中的絕對值，在不等式兩邊都乘以負數x，得到一個一元二次不等式，求出不等式的解集與x小于0求出交集即為原不等式的解集；當x大于0時，根據正數的絕對值等于本身化簡絕對值，在不等式兩邊都乘以正數x，得到一個一元二次不等式，化簡后得到此不等式無解，綜上，得到原不等式的解集．

解答：解：由不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，
得到ax²+bx+c=0的兩解為-1和2，且a＜0，
根據韋達定理得：-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，即b=-a，c=-2a，
則不等式

2a+b

x

+c＞b|x|可化為：

a

x

-2a＞-a|x|，即

1

x

-2+|x|＜0，
當x＜0時，不等式化為：

1

x

-2-x＜0，
去分母得：x²+2x-1＜0，即（x+1-

2

）（x+1+

2

）＜0，
解得：-1-

2

＜x＜-1+

2

，
則原不等式的解集為：-1-

2

＜x＜0；
當x＞0時，不等式化為：

1

x

-2+x＜0，
去分母得：x²-2x+1＜0，即（x-1）²＜0，無解，
綜上，原不等式的解集為{x|-1-

2

＜x＜0}．
故答案為：{x|-1-

2

＜x＜0}

點評：此題考查學生靈活運用韋達定理化簡求值，考查了分類討論的數學思想，是一道中檔題．