Question

如圖棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求證：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）設AB=a，∠BAC=30°，四邊形AA₁C₁C的面積為3a2，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積、

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，我們根據(jù)菱形的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)定理，易得BD⊥平面AA₁C₁C，再由線面垂直的性質(zhì)，即可得到BD⊥AA₁；
（Ⅱ）由已知中AB=a，∠BAC=30°，四邊形AA₁C₁C的面積為3a²，我們可計算出棱柱底面ABCD的面積及高AA₁的長度，然后代入棱柱體積公式，即可得到答案．
解答：證明：（Ⅰ）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又由AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
（Ⅱ）∵AB=a，∠BAC=30°，
則AC=，BD=a
∴S_ABCD=2×AB•AD•sin∠A=
又四邊形AA₁C₁C的面積為3a²，
∴AA₁=，
∴V=AA₁•S_ABCD=
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)，棱柱的體積，熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．