Question

（14分）在正四棱柱中，E,F分別是的中點，G為上任一點，EC與底面ABCD所成角的正切值是4.
（Ⅰ）求證AGEF；
（Ⅱ）確定點G的位置，使AG面CEF,并說明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）略（2）CG=CC₁（3）

∵是正四棱柱
∴ABCD是正方形，設其邊長為2a,ÐECD是EC與底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC₁, ∴CC₁=4EC₁=4a.……………1分
以A為原點，AB、AD、AA₁所在的直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的直角坐標系。
則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
A₁(0,0,4a),B₁(2a,0,4a),C₁(2a,2a,4a),D₁(0,2a,4a),
E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),設G(2a,2a,b)(0<b<4a)………………3分
（Ⅰ）=（2a,2a,b）,=(a,-a,0),=2a²-2a²+0=0,
∴AGEF  ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG面CEF，只需AGCE,
只需=（2a,2a,b）×（-a,0,4a）=-2a²+4ab=0,
∴b=a,即CG=CC₁時，AG面CEF�！�……………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當G(2a,2a, a)時，是平面CEF的一個法向量，
由題意可得，是平面CEC₁的一個法向量，
設二面角的大小為q，
則cosq===,
二面角的余弦值為.   …………………………14分
（運用綜合法相應給分）