Question

已知圓C：（x-2）²+（y-2）²=m，點(diǎn)A（4，6），B（s，t）．
（1）若3s-4t=-12，且直線(xiàn)AB被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，求m的值；
（2）若s，t為正整數(shù)，且圓C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值λ（λ＞1），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（4，6），B（s，t）都適合3s-4t=-12，可得過(guò)A，B的直線(xiàn)方程為3x-4y=-12，求出圓心到該直線(xiàn)的距離，然后利用垂徑定理求得m的值．
（2）由圓C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值λ寫(xiě)出圓C的方程，利用兩個(gè)圓的一次項(xiàng)系數(shù)相等得到s和t的關(guān)系式，再根據(jù)s，t為正整數(shù)求出s與t的具體關(guān)系，從而求出λ²的值，進(jìn)一步求出s與t的值，代入所求圓的方程后即可得到m的值．

解答：解：（1）因?yàn)锳（4，6），B（s，t）．
由3s-4t=-12，說(shuō)明點(diǎn)B（s，t）適合直線(xiàn)3x-4y=-12，
由把A（4，6）代入直線(xiàn)3x-4y=-12成立，所以A，B共線(xiàn)3x-4y=-12，
則圓心（2，2）到直線(xiàn)3x-4y=-12的距離為d=

|3×2+(-4)×2+12|

32+(-4)2

=2，
又直線(xiàn)AB被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，
根據(jù)垂徑定理知：m=2²+2²=8；
（2）設(shè)P（x，y）為圓C：（x-2）²+（y-2）²=m上任意一點(diǎn)，
則

(x-4)2+(y-6)2

(x-s)2+(y-t)2

=λ2，
整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，
則該圓的方程即為（x-2）²+（y-2）²=m，
所以

4=8-2λ2s 4=12-2λ2t

①，整理得：λ²（t-s）=2，
因?yàn)閟，t為正整數(shù)，且λ＞1，所以t-s=

2

λ2

≤1，
若t-s為小于等于0的整數(shù)，則λ²（t-s）=2不成立，所以，t-s=1．
則λ²=2．代入①得：s=3，t=4．
把λ²=2，s=3，t=4代入方程（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，
得：（x-2）²+（y-2）²=10．
所以m=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生靈活處理和解決問(wèn)題的能力，解答（1）的關(guān)鍵是對(duì)直線(xiàn)AB的方程的求解，解答（2）的關(guān)鍵是：想到由圓C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值λ求出圓C的方程，利用該圓的方程與已知圓的方程比對(duì)求值，此題是難題．